极限的局部有界性怎么理解

[函数极限连续]函数极限的局部有界性和局部保号性

局部保号性对于函数的局部保号性，我们以f（x）=1/x在x=0的极限为例。当x趋向于0时，极限为正。局部保号性意味着在x0的极限为正时，存在去心邻域，使得函数值始终大于0。证明 如果函数f在x0的极限为A0，那么存在ε0和δ0，使得当0|x-x0|A-ε。

数列极限的有界性和保号性已被阐述，这里将聚焦于函数极限的局部有界性和局部保号性。以函数y=x在x=0处的极限为例，其极限为0，这意味着存在一个以x=0为中心的去心邻域，函数在此区域内是局部有界的。理解此概念时，需注意两个关键点。

你好，“局部”就是指x0的某空心领域。如果还有没想通的地方可以追问。

有界性就是指定义域在一定范围内时，其函数值不超过或不小于某个数，是针对数的范围来说的。保号性是指定义域在一定范围内时，其函数值要么为正，要么为负，当过了某点时，可能会改变正负号。是针对符号来说的。

局部有界性：如果函数 f（x） 在某点 x0 的某个邻域内有极限存在，那么函数 f（x） 在该邻域内是有界的，即存在一个正数 M，使得对于该邻域内的所有 x，都有 |f（x）| ≤ M。

精锐教育庆春路数学组很高兴为您解如果有两个极限，那么往谁身上靠，就出乱子了。因为到最后，点都靠到极限那个数附近了，所以到最后的那些点是有界的，所以叫局部有界。

函数极限的局部有界性

对于考研路上的你，理解函数极限的局部有界性就像理解生活中的基本原则一样重要。这个特性是函数极限不可或缺的特性之一，它揭示了函数行为的微妙之处。局部有界性：概念与定义 想象一下，当一个函数f（x）在点x0附近有确定的极限A，这就意味着在x趋近x0的过程中，函数的行为可以被限定在一个范围内。

当X趋向于无穷时，函数极限的局部有界性定理：如果lim（x-∞）f（x）存在，则存在正数X，使得当｜x|X时，f（x）有界。证明：设lim（x-∞）f（x）=A，则由＂ε－X定义知，对于ε＝1，存在正数X，使得当｜x|X时，恒有|f（x）-A|X时，有|f（x）|≤｜f（x）-A|+|A|X时，f（x）有界。

函数极限的局部有界性是指，当x属于（x-a，x+a）时（a趋于无穷小），函数存在最大值与最小值。

极限这个概念本身就是局部性质，函数在一点a的极限只能表示a点附近的性质，所以必然是局部性。事实上如果函数f（x）在点a有极限，那么必然存在点a的一个小邻域在其上函数f（x）是有界的，在邻域之外就不能保证了。